| 28、如图28-1所示，物体A从高h的P处沿光滑曲面从静止开始下滑，物体B用长为L的细绳竖直悬挂在O点且刚和平面上Q点接触。已知mA=mB，高h及S(平面部分长)。若A和B碰撞时无能量损失。(1)若L≤h/4，碰后A、B各将做什么运动?(2)若L=h，且A与平面的动摩擦因数为μ，A、B可能碰撞几次？A最终在何处？ |
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分析与解：当水平部分没有摩擦时，A球下滑到未碰B球前能量守恒，与B碰撞因无能量
损失，而且质量相等，由动量守恒和能量守恒可得两球交换速度。A
停在Q
处，B碰后可能做摆动，也可能饶
O点在竖直平面内做圆周运动。如果做摆
动，则经一段时间，B反向与A相碰，使A又回到原来高度，B停在Q处，以后
重复以上过程，如此继续下去，若B做圆周运动，B逆时针以O为圆心转一周
后与A相碰，B停在Q处，A向右做匀速运动。
由此分析，我们可得本题的解如下：
(1)A与B碰撞前A的速度：mgh=
mVA2，VA=
因为mA=mB，碰撞无能量损失，两球交换速度，得：VA'=0，VB'=VA=
设B球到最高点的速度为Vc，B做圆周运动的临界条件：mBg=mBV2/L
[1]
又因mBVB'2=mBV2+mBg2L
[2]
将[1]式及VB'=代入[2]式得：L=2h/5
即L≤2h/5时，A、B碰后B才可能做圆周运动。而题意为L=h/4＜2h/5，故A
与B碰后，B必做圆周运动。因此(1)的解为：A与B碰后A停在Q处，B做圆周
运动，经一周后，B再次与A相碰，B停在Q处，A向右以速度做匀速直线
运动。
(2)由上面分析可知，当L=h时，A与B碰后，B只做摆动，因水平面粗糙，
所以A在来回运动过程中动能要损失。设碰撞次数为n，由动能定理可得：
mAgh-nμmAgS=0
所以n=h/μS
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讨论：若n为非整数时，相碰次数应凑足整数数目。 如n=1.2，则碰撞次数为两次。 当n为奇数时，相碰次数为(n-1)次。如n=3， 则相碰次数为两次，且A球刚到达Q处 将碰B而又未碰B； 当n为偶数时，相碰次数就是该偶数的数值， 如n=4，则相碰次数为四次。球将停在 距B球S处的C点。 A球停留位置如图28-2所示。 |
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| 29、如图29-1所示，长为L，质量为m1的物块A置于光滑水平面上，在A的水平上表面左端放一质量为m2的物体B，B与A的动摩擦因数为μ。A和B一起以相同的速度V向右运动，在A与竖直墙壁碰撞过程中无机械能损失，要使B一直不从A上掉下来，V必须满足什么条件?(用m1、m2，L及μ表示) |
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分析与解：A与墙壁发生无机械能损失的碰撞后，A以大小为V的速度向左运动，B仍以
原速度V向右运动，以后的运动过程有三种可能：(1)若m1＞m2，则m1和m2最
后以某一共同速度向左运动；(2)若m1=m2，则A、B最后都停止在水平面上，
但不再和墙壁发生第二次碰撞；(3)若m1＜m2，则A将多次和墙壁碰撞，最后
停在靠近墙壁处。
若m1＞m2时，碰撞后系统的总动量方向向左，大小为：P=m1V-m2V
设它们相对静止时的共同速度为V'，据动量守恒定律，
有：m1V-m2V=(m1+m2)V'
所以V'=(m1-m2)V/(m1+m2)
若相对静止时B正好在A的右端，则系统机械能损失应为μm2gL，
则据能量守恒：m1V2+m2V2-(m1+m2)(m1-m2)2V2/(m1+m2)2=μm2gL
解得：V=
若m1=m2时，碰撞后系统的总动量为零，最后都静止在水平面上，
设静止时A在B的右端，则有：m1V2+m2V2=μm2gL
解得：V=
若m1＜m2时，则A和墙壁能发生多次碰撞，每次碰撞后总动量方向都向右，
设最后A静止在靠近墙壁处时，B静止在A的右端，
同理有：m1V2+m2V2=μm2gL
解得：V=
故：若m1＞m2，V必须小于或等于
若m1≤m2，V必须小于或等于
注意：本题中，由于m1和m2的大小关系没有确定，在解题时必须对可能发生的物
理过程进行讨论，分别得出不同的结果。
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